Oletame, et planeedil on tähega võrreldes tähtsusetu mass, et mõlemad on sfääriliselt sümmeetrilised (nii et Newtoni gravitatsiooniseadus kehtib, kuid tavaliselt juhtub see niikuinii väga hea ligikaudsusega) ja et peale raskus nende vahel. Kui esimene tingimus ei kehti, läheb igaühe kiirendus süsteemi barycenteri suunas, justkui tõmbaks barycenter neile teatud vähendatud massiga gravitatsioonijõudu, nii et probleem on matemaatiliselt samaväärne.

Võtke täht alguspunkti juurde. Newtoni gravitatsiooniseaduse järgi on jõud $ \ mathbf {F} = - \ frac {m \ mu} {r ^ 3} \ mathbf {r} $, kus $ \ mathbf {r} $ on planeedi vektor , $ m $ on selle mass ja $ \ mu = GM $ on tähe standardne gravitatsiooniparameeter.

Kaitseseadused

Kuna jõud on puhtalt radiaalne $ (\ mathbf {F} \ parallel \ mathbf {r}) $, nurkimpulss $ \ mathbf {L} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {p} $ on konserveeritud: $$ \ dot {\ mathbf {L}} = \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} \ vasakule (\ mathbf {r} \ korda \ mathbf {p} \ right) = m (\ dot {\ mathbf {r}} \ korda \ punkt {\ mathbf {r}}) + \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F} = \ mathbf {0} \ text {.} $$ Kui algkiirus pole null ja täht on alguspunktis, siis algpositsiooni ja kiiruse osas peab orbiit piirduma kõigi punktide tasapinnaga, mille vektorid $ \ mathbf {x} $ algusest lähtuvalt rahuldavad $ \ mathbf {L} \ cdot \ mathbf {x} = 0 $ . Kui algkiirus on null, siis on liikumine puhtalt radiaalne ja me võime võtta ühe lõpmatult paljudest tasapindadest, mis sisaldavad baritsentrit ja algpositsiooni.

Orbiidi koguenergia on antud $$ \ mathcal {E} = \ frac {p ^ 2} {2m} - \ frac {m \ mu} {r} \ text {,} $$, kus esimese termini osa on kineetiline energia ja teine ​​termin on gravitatsiooniline potentsiaalne energia planeedi. Selle säilimist ja ka seda, et see kutsub üles õiget potentsiaalset energiat, saab tõestada jooneintegraalide arvutamise põhiteoreemiga.

Määrake vektoriks Laplace-Runge-Lenz väärtuseks $$ \ mathbf {A} = \ mathbf {p} \ times \ mathbf {L} - \ frac {m ^ 2 \ mu} {r} \ mathbf {r } \ text {.} $$ See on ka konserveeritud: $$ \ begin {eqnarray *} \ dot {\ mathbf {A}} & = & \ mathbf {F} \ times \ mathbf {L} + \ mathbf {p } \ times \ dot {\ mathbf {L}} - \ frac {m \ mu} {r} \ mathbf {p} + \ frac {m \ mu} {r ^ 3} (\ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {r}) \ mathbf {r} \\ & = & - \ frac {m \ mu} {r ^ 3} \ alusvanker {\ vasakule (\ mathbf {r} \ korda (\ mathbf {r} \ korda \ mathbf {p}) \ right)} _ {(\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {p}) \ mathbf {r} - r ^ 2 \ mathbf {p}} - \ frac {m \ mu} {r } \ mathbf {p} + \ frac {m \ mu} {r ^ 3} (\ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {r}) \ mathbf {r} \\ & = & \ mathbf {0} \ text {.} \ end {eqnarray *} $$

Lõpuks võtame ka $ \ mathbf {f} = \ mathbf {A} / (m \ mathcal {E}) $, millel on sama ühikut kui $ \ mathbf {r} $ ja kuna $ \ mathbf {L} \ cdot \ mathbf {f} = 0 $, siis asub see orbiiditasandil. Kuna tegemist on konserveeritud vektoriga, mille skaleerib konserveeritud skalaar, on lihtne näidata, et ka $ \ mathbf {f} $ on konserveeritud, kui $ \ mathcal {E} \ neq 0 $.

Lihtsustamine

Vektori kolmekordse toote abil võime kirjutada $$ \ begin {eqnarray *} \ frac {1} {m} \ mathbf {A} & = & \ frac {1} {m} \ vasakule [p ^ 2 \ mathbf {r} - (\ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {r}) \ mathbf {p} \ right] - \ frac {m \ mu} {r} \ mathbf {r} \ \ & = & \ left (\ mathcal {E} + \ frac {p ^ 2} {2m} \ right) \ mathbf {r} - \ frac {1} {m} \ left (\ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {r} \ right) \ mathbf {p} \\\ mathcal {E} (\ mathbf {f} - \ mathbf {r}) & = & \ left (\ frac {p ^ 2} {2m} \ paremal) \ mathbf {r} - \ frac {1} {m} \ left (\ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {r} \ right) \ mathbf {p} \ text {,} \ end {eqnarray *} $$, mille normruutu on lihtne välja vändata: $$ \ mathcal {E} ^ 2 | \ mathbf {f} - \ mathbf {r} | ^ 2 = \ left (\ mathcal {E} + \ frac {m \ mu} {r} \ right) ^ 2r ^ 2 \ text {,} $$ kus kineetiliste ja potentsiaalsete terminite vahetamiseks kasutati läbivalt $ $ mathcal {E} $.

Miks ellipsid ?

Kuna $ \ mathcal {E} $ on energia lõpmatuse suhtes, on seotud orbiidi saamiseks vaja $ \ mathcal {E} <0 $. Seega eelmisest jaotisest $ | \ mathbf {f} - \ mathbf {r} | = - \ mathcal {E} ^ {- 1} \ vasakule (\ mathcal {E} r + m \ mu \ right) $ ja seetõttu $$ | \ mathbf {f} - \ mathbf {r} | + | \ mathbf {r} | = - \ frac {m \ mu} {\ mathcal {E}} \ text {,} $$ mis määrab ellipsi fookustega $ \ mathbf {0}, \, \ mathbf {f} $ ja peateljega $ 2a = -m \ mu / \ mathcal {E} $.

Miks mitte ringid?

Ring on erijuhtum, kus fookused on sama punktiga $ \ mathbf {f} = \ mathbf {0} $, mille saab ümber öelda kujul $$ \ mathcal {E} = - \ frac {1} {2} \ frac {m \ mu} {r} = - \ frac {p ^ 2} { 2m} \ text {.} $$ Teisisõnu, ümmargused orbiidid nõuavad, et orbiidi energia oleks kineetilise energia negatiivne. See on võimalik, kuid peaaegu kindel, et seda täpselt ei peeta. Kuna seonduvate orbiitide jaoks on lubatud kõik väärtused $ \ mathcal {E} <0 $, on elliptiliste orbiitide leidmiseks veel palju võimalusi. (Kuigi mõned neist kukuksid tegelikult kokku, kuna tähel ja planeedil on positiivne suurus.)

Pange tähele, et hüperboolsetel orbiitidel on $ \ mathcal {E} >0 $ ja leiame fookused siiski ülaltoodud meetodil , olgugi et märkidega ettevaatlik. $ \ Mathcal {E} = 0 $ puhul pole teine ​​fookus $ \ mathbf {f} $ määratlemata, kuna see on paraboolne orbiit ja paraboolidel on ainult üks fookus keskusest piiratud kaugusel.

Lisaks on ekstsentrilisuse vektor $ \ mathbf {e} = \ mathbf {A} / (m ^ 2 \ mu) $ alternatiivne valik LRL-vektori jaoks; nagu nimigi ütleb, on selle suurus orbiidi ekstsentrilisus.

Planeedil võib olla ümmargune orbiit, ring on lõppude lõpuks ellips, kus mõlemad fookused asuvad samas kohas; see on tuntud kui ekstsentrilisus 0 . Ekstsentrilisus on määratletud järgmiselt: $$ e = \ frac {r_ {a} - r_ {p}} {r_ {a} + r_ {p}} $$, kus $ r_ {a} $ on apoapsis (kõige kaugemal punkt orbiidil massikeskmest) ja $ r_ {p} $ on periapsis (lähim kaugus). Lihtsalt siinse intuitsiooni loomiseks, kui apoapsis on kaks korda suurem kui periapsis, on ekstsentrilisus $ e = 0,333 $.

Kõigilt päikesesüsteemi planeetidelt Veenus tugev>, ekstsentrilisusega 0,007 on kõige rohkem ümmargune orbiit.

Miks kõik orbiidid pole ümmargused, taandub kineetilisele energiale tugev >. Kineetiline energia on proportsionaalne kiiruse ruuduga. Tähe orbiiditasandil ja polaarkoordinaatides võime selle lagundada radiaalkiiruse $ \ dot {r} $ ja nurkkiiruse $ \ dot {\ phi} $ kombinatsiooniks: $$ v ^ 2 = \ dot {r} ^ 2 + r ^ 2 \ dot {\ phi} ^ 2 \ text {.} $$ Kuna ringidel on konstantsed raadiused, peab orbiit olema tähe ümber ümmargune, nii et planeedi radiaalkiirus peab olema täpselt null. Lisaks peab nurkkiirus olema selline, et koroteerivas raamis olev tsentrifugaaljõud tasakaalustaks täpselt gravitatsioonijõu - natuke rohkem või veidi vähem, tasakaalustamatus muudab radiaalkiirust, rikkudes ringi.

Arvestades asjaolu, et kiirused varieeruvad paljudel põhjustel, pole ime, et ainult vähesed orbiidid on lõpuks ümmargused ja arvestades, et tegelikud orbiidid muutuvad aja jooksul , tean, et nad ei saa nii kauaks jääda.

Kui otsite matemaatilist tõestust, jagab see link selle kohta üksikasju.

Siin on pilt, mis näitab mõnede päikesesüsteemi kehade ekstsentrilisust, mis on välja võetud siit:

Eelistan alati vastuseid, milles püütakse vältida valemeid, ja vastan selle asemel argumenteerimisele. Mis puudutab küsimust, miks mitte kõik orbiidid pole ümmargused, siis võiks argumenteerida järgmiselt:

Mõelgem paigalseisvale tähele ja liikuvale planeedile. Iga impulsi kohta, mis planeedil võib olla, saab ennustada tema edasise liikumise kõverat. Kui see impulss on suunatud täpselt ortogonaalselt tähele planeedile ja kui kiirusel on täpne summa , siis võib see liikumiskõver olla täpne ring .

Kuid selle ühe täpse impulsi iga hälbe korral ei saa saadud kõver olla ring:

• Kui kiirus on liiga madal, langeb planeet alla tähe poole (nullimpulssi äärmisel juhul toimub see kukkumine sirgjooneliselt).
• liiga suure kiiruse korral saab planeet tähest kauguse (sarnane paelaga).
• Kui impulss ei ole tähega sirgjoonega otseselt ristkülikukujuline, liigub esimene liikumine tähe suunas või tähe suunas, nii et jällegi ei ole kõver ring.

Seega võib lihtsalt vaielda, et ring on väga eriline juhtum kõvera jaoks, mille planeet võib tähe ümber teha.